이 수학 퍼즐은 다음 파티를 계획하는 데 도움이 됩니다

: By Gary Chartrand, Harvey Mudd College 및 Ping Zhang, Western Michigan University

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다음 파티를 계획하고 게스트 목록을 고민한다고 가정 해 봅시다. 누구에게 초대장을 보내야합니까? 친구와 낯선 사람의 어떤 조합이 올바른 조합입니까?

수학자들은 거의 한 세기 동안이 문제의 한 버전을 연구 해왔다. 당신이 원하는 것에 따라 대답은 복잡 할 수 있습니다.

우리 책, "그래프 이론의 매혹적인 세계, "이 같은 퍼즐을 탐구하고 어떻게 그래프를 통해 해결할 수 있는지 보여줍니다. 이와 같은 질문은 작아 보일 수 있지만, 과학, 커뮤니케이션 및 사회와 같은 다양한 분야에서 수학 문제를 해결하는 데 그래프가 사용될 수있는 방법을 보여주는 훌륭한 시연입니다.

퍼즐이 탄생했습니다.

하버드 대학이 미국 최고의 학문 대학 중 하나라는 것은 잘 알려져 있지만 하버드 대학이 미국 최고의 축구 팀 중 하나 였을 때가 있다는 사실을 알고 놀라게 될 것입니다. 그러나 1931에서는 모든 미국 쿼터백 Barry Wood, 그런 경우가있었습니다.

그 해 Harvard는 Army를 연기했다. 하프 타임에 예기치 않게 군대가 Harvard 13-0을 이끌었다. 분명히 화가 난 하버드 대관 장은 육군 사령관에게 군대가 축구계의 하버드보다 좋을 지 모르지만 하버드는 학술 대회에서 우월하다고 말했다.

하버드 대원이 군대 14-13를 물리 치기 위해 다시 돌아 왔지만, 사령관은 하버드 대 더 학술적으로 경쟁하기위한 도전을 받아 들였다. 두 사람이 수학에서 경쟁 할 것이라는 데 동의했다. 이로 인해 육군과 하버드는 수학 팀을 선택하게되었습니다. 대결은 1933의 West Point에서 일어났습니다. 하버드 놀랍게도, 육군 원.

Harvard-Army 경쟁은 결국 1938에서 학부생을 대상으로 한 연례 수학 경쟁으로 이어졌습니다. Putnam 시험하버드 대통령의 친척 인 윌리엄 로웰 퍼트 남 (William Lowell Putnam)의 이름을 따왔다. 이 시험은 미국과 캐나다에서 수학의 건강한 경쟁을 자극하기 위해 고안되었습니다. 수년 동안이 시험은 많은 흥미롭고 도전적인 문제를 포함하고 있습니다.

빨간색과 파란색 라인

1953 시험에는 다음과 같은 문제점이 있습니다 (약간 수정) : 평면에 여섯 개의 점이 있습니다. 모든 점은 파란색 또는 빨간색 선으로 모든 다른 점에 연결됩니다. 같은 색의 선들 만 그려지는 세 점이 있음을 보여줍니다.

수학에서 몇 개의 점 쌍 사이에 선이 그어진 점들의 모음이 있다면 그 구조를 그래프라고합니다. 이 그래프의 연구를 그래프 이론이라고합니다. 그러나 그래프 이론에서는 점을 정점이라하고 선을 모서리라고 부릅니다.

그래프를 사용하여 다양한 상황을 나타낼 수 있습니다. 예를 들어이 Putnam 문제에서 한 지점은 사람을 나타낼 수 있고 빨간색 줄은 사람들이 친구라는 것을 의미 할 수 있으며 파란색 줄은 그들이 낯선 사람이라는 것을 의미합니다.

$수학 시험$
동일한 색깔의 선으로 연결된 세 점이 있음을 보여줍니다. 게리 차트 랜드

예를 들어, 점 A, B, C, D, E, F를 호출하고 그 중 하나를 말하면 A라고 말합시다. A에서 다른 5 점으로 그린 5 개의 선 중에서 같은 색의 3 개의 선이 있어야합니다.

A에서 B, C, D까지의 선이 모두 빨간색이라고 해봅시다. B, C, D 중 임의의 두 선 사이의 선이 빨간색이면 그 사이에 빨간색 선만있는 3 개의 점이 있습니다. B, C, D 중 임의의 두 행 사이에 선이 없으면 모두 파란색입니다.

단 5 점 만 있으면 어떨까요? 그 사이에있는 모든 선들이 똑같은 색을 띄는 3 점이 없을 수도 있습니다. 예를 들어, A-B, B-C, C-D, D-E, E-A 선은 빨간색 일 수 있고 다른 선은 파란색 일 수 있습니다.

우리가 보았던 것에서, 3 명의 친구 또는 3 명의 상호 낯선 사람들이 6 명인 것처럼 파티에 초대 될 수있는 가장 작은 수의 사람 (두 사람이 친구 또는 낯선 사람입니다)이 6 명입니다.

네 명이 서로의 친구가되거나 서로 낯선 사람들이되기를 원한다면 어떻게 될까요? 우리가 파티에 초대해야만하는 최소의 인원은 무엇인가? 이 질문에 대한 답변이 나왔습니다. 18입니다.

5 명의 사람들이 서로의 친구가되거나 서로 낯선 사람들이되고 싶다면 어떻게해야할까요? 이 상황에서, 파티에 초대 할 사람들의 최소 숫자는 알려지지 않았습니다. 아무도 모른다. 이 문제는 설명하기 쉽고 오히려 간단하게 들릴 수도 있지만 악명이 높습니다.

램지 번호

우리가 논의해온 것은 램지 (Ramsey) 번호라는 그래프 이론의 한 유형입니다. 이 숫자는 영국의 철학자, 경제학자 및 수학자의 이름입니다. 프랭크 플러 튼 램지.

램지 (Ramsey)는 26 시대에 죽었지 만, 그의 아주 어린 나이에 수학에 관한 매우 흥미로운 정리를 얻었는데, 여기서 우리의 질문이 제기되었다. 적색과 청색 선으로 연결된 점들로 가득 찬 또 다른 비행기가 있다고 가정 해보십시오. r과 s라는 두 개의 양의 정수를 선택합니다. 우리는 그들 사이의 모든 선이 빨간색이거나 그들 사이의 모든 선이 청색 인 점을 정확히 나타내는 점을 갖고 싶습니다. 우리가 할 수있는 가장 작은 점수는 무엇입니까? Ramsey 번호라고합니다.

예를 들어 우리 비행기가 최소한 3 개의 점이 모두 빨간색 선으로 연결되고 3 점이 모든 파란색 선으로 연결되도록하고 싶다고 가정 해 봅시다. Ramsey 번호 - 우리가이를 실현하는 데 필요한 최소한의 점수 -는 6입니다.

수학자들이 문제를 볼 때, 그들은 종종 다음과 같이 질문합니다. 이것은 다른 질문을 제안합니까? 이것은 Ramsey 숫자와 관련하여 일어난 일입니다.

예를 들면 다음과 같습니다. 5 명의 소녀가 파티를 계획하고 있습니다. 그들은 소년을 알든 모르 든 파티에 파티를 초대하기로 결정했습니다. 얼마나 많은 소년들이 초대해야 할 것인가? 그 가운데 3 명의 소년이 항상있을 것이고, 5 명의 소녀 중 3 명이 3 명의 소년과 친구가되거나 3 명의 소년을 모두 알지 못한다. 답을 잘 추측하는 것은 쉽지 않습니다. 그것은 41입니다!

램지 번호는 거의 알려지지 않았습니다. 그러나 이것은 수학자들이 그러한 문제를 해결하려고 시도하는 것을 멈추지 않습니다. 종종 한 가지 문제를 해결하지 못하면 더욱 흥미로운 문제가 발생할 수 있습니다. 그런 수학자의 삶입니다.